Текст работы

Лабораторная работа
Бифуркационная динамика систем

Ход работы:
.Пусть на изолированном острове летом выводятся насекомые численностью Хi, которые откладывают яйца и умирают. Из яиц на следующий год выводятся новые насекомые численностью Хi +1. Очевидно, численность потомства Хi +1 должна зависеть от численности родительского поколения Хi и от каких-то дополнительных факторов. Эта зависимость учитывается уравнением:

Хi +1 = (N - Хi ),

Где > 0 - некоторый параметр (т.е. постоянная в условиях рассмотрения величина), N - максимально возможная численность популяции.
Для унификации уравнения численность популяции нормируют по отношению к предельной величине, что математически оформляется делением обеих частей равенства на N2:

Хi +1* = * Хi*(1 - Хi*),
Где Хi* = Хi/N Хi +1*= Хi +1/ N *= N

2.Пусть и . Тогда . Зададим в заданных пределах и рассчитаем и занесем в таблицу результаты.
λ=0,4 X0=0,5

x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
0,5	0,1	0,036	0,013882	0,005476	0,002178	0,000869	0,000347	0,000139

Анализ табличных результатов показывает, что популяция сокращается.
.Зададим значение λ большее в интервале .
λ=2

x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5

Как видно, в данном случае популяция не возрастает, а стремится по численности к некоторому предельному значению . Этот предел для каждого λ может быть рассчитан аналитическим путем решения уравнения

.

Уравнение имеет два решения:

.

Первое решение реализуется (т.е. существует устойчиво) при малых , а второе для, т.к. условиям задачи по должно быть .
.Зададим λ еще большее значение .
λ=3,5

x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
0,5	0,75	0,382813	0,826935	0,500898	0,874997	0,38282	0,826941	0,500884

В этом случае динамика численности популяции заметно усложняется: возникают два ее предельных (стационарных) значения, причем сама численность колеблется, попеременно приближаясь то к одному, то к другому пределу.
.Построим график зависимости стационарных состояний численности от параметра скорости роста (.


популяция особь бифуркационный
Второе критическое значение 2 = 3.4 соответствует раздвоению каждой из ветвей решения, т.е. стационарных значений становится не два, а четыре.
Контрольные вопросы.
1.N-максимальная численность, которой может достичь популяция. Численность популяции на конкретной территории не может увеличиваться бесконечно, так как на всех особей не хватит пропитания. Как только численность популяции начнет приближаться к N, между особями начнется конкуренция за территорию, борьба за выживание. Путем естественного отбора некоторые особи погибнут, и численность популяции уменьшится и будет меньше N.
.При динамика популяции будет нулевой. Такая популяция существовать не будет.
При динамика популяции так же будет нулевой, потому что природные механизмы не дадут популяции превысить численность N.